Bis 1936 übte er Lehrtätigkeiten an höheren Schulen aus und war wissenschaftlicher Hilfsarbeiter am Deutschen Institut für Länderkunde in Leipzig. 1937 bis 1940 war Prof. Weigt Leiter der Deutschen Schule Lusholo (Tanganyika, Ostafrika), von 1942 bis 1944 Flugmeteorologe. Er wurde Assistent am Geographischen Institut der Universität Hamburg, wo er 1948 habilitiert und zum Privatdozenten ernannt wurde. 1949 wurde er Diätendozent, 1955 apl. ao. Professor an der Universität Köln. An die Hochschule für Wirtschaftswissenschaften, die später die Wirtschafts- und Sozialwissenschaftlichen Fakultät der Universität Erlangen-Nürnberg wurde, kam er 1955 als ao. Professor. Seit 1958 bis zu seiner Emeritierung 1976 war er Inhaber des Lehrstuhls für Wirtschafts- und Sozialgeographie.